* La chaîne des Puys et ses visiteurs

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Depuis son inscription au Patrimoine mondial de l’Unesco le 2 juillet 2018, la chaîne des Puys attire des visiteurs de plus en plus nombreux.
Le 20 août 2020, un groupe de touristes a participé à une excursion sur le site avec ascension au sommet du Puy de Dôme, soit à pied par le sentier des muletiers, soit en train panoramique, suivie d’une entrée soit à Vulcania (parc d’attractions autour du volcanisme), soit à Lemptégy (exploration des entrailles d’un volcan).
On choisit au hasard un touriste de ce groupe et on note :
\(\text{M}\) : « le touriste est monté au sommet du Puy de Dôme à pied »
\(\text{T}\) : « le touriste est monté au sommet du Puy de Dôme en train »
\(\text{V}\) :« le touriste a pris une entrée à Vulcania »
\(\text{L}\) : « le touriste a pris une entrée à Lemptégy »

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré en précisant les probabilités \(P(\text{T})\), \(P_\text{M}(\text{L})\) et \(P_\text{T}(\text{V})\).

2. Vérifier que la probabilité que le touriste ait pris une entrée à Vulcania est égale à \(P(\text{V})=0{,}63\).
3. Déterminer la probabilité que le touriste soit monté en train au sommet du Puy de Dôme sachant qu’il a pris une entrée à Lemptégy. On donnera d’abord la valeur exacte, puis on arrondira au millième.
4. Le prix du ticket de train est fixé à \(11{,}50\;€\), l’entrée à Lemptégy à \(12\;€\) et l’entrée à Vulcania à \(25\;€\).
    a. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de la dépense, en €, d’un participant à cette excursion.
\(\begin{align*}\begin{array}{|c|c|}\hline\text{Dépense } &12 &23{,}50& 25& 36{,}50\\ \hline\text{Probabilité }&0{,}22&\quad &\quad \quad &0{,}45\\ \hline\end{array}\end{align*}\)
    b. Calculer la dépense moyenne par participant, en €.